معادلات لایه مرزی

از ویکی‌پدیا، دایرةالمعارف آزاد.

بررسی لایهٔ مرزی هیدرودینامیکی (سرعت):

معادلهٔ جرم:

حجم معیار dxdy \, را در نظر می گیریم. بالانس جرم برای این حجم معیار بصورت زیر درمیآید:

\rightarrow \frac{\partial}{\partial t}\int_{\forall}\rho d\forall+\int_A\rho \vec V.d\vec A=0

برای حالت پایا جمله اول صفر بوده و برای جمله دوم داریم:

\sum \dot m=0 \rightarrow \dot m_{in}=\dot m_{out}


\rightarrow\rho u.dy+\rho vdx-(\rho u+\frac{\partial}{\partial x}(\rho u)dx)dy-(\rho v+\frac{\partial}{\partial y}(\rho v)dy)dx=0\rightarrow \frac{\partial}{\partial x}\rho u+\frac{\partial}{\partial y}\rho v=0


- معادلهٔ مومنتوم: (قانون دوم نیوتن)

\sum \vec F=\frac{\partial}{\partial t}\int_{\forall}\rho \vec V d\forall +\int_{c.s.}\rho \vec V\vec V.d\vec A


مجموع نیروهای سطحی وارده در جهت x \,:

F_{s,x}=\left(\frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}\right) dxdy

نیروهای در جهت y:

F_{s,y}=\left(\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial x}+\frac{\partial \sigma _{yy}}{\partial y}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) dxdy



\sum \dot mu=\frac{\partial }{\partial x}(\rho uu)dxdy+\frac{\partial }{\partial y}(\rho vu)dydx


\sum \dot m v=\frac{\partial }{\partial x}(\rho uv)dxdy+\frac{\partial }{\partial y}(\rho vv)dydx


در نتیجه در حالت {s-s} \, معادلات مومنتوم در جهت x \, و y \, بصورت زیر در خواهند آمد.

X \, و Y \, به ترتیب نیروهای حجمی در جهت x \, و y  \, میباشند.

\frac{\partial}{\partial x}(\rho uu)+\frac{\partial}{\partial y}(\rho vu)=\frac{\partial}{\partial x}\sigma_{xx}-\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}+X


\frac{\partial}{\partial x}(\rho uv)+\frac{\partial}{\partial y}(\rho vv)=\frac{\partial}{\partial x}\sigma_{yy}-\frac{\partial P}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial x}+Y


از آنجائیکه مجهولات عمده در معادلات جرم و مومنتوم \rho \, و u \, و v \, می باشند می بایستی کمیات \sigma_{xx} \, ، \tau_{yx} \, ، \sigma_{yy} \, و \tau_{xy} \, را بر حسب این مجهولات نوشت: برای سیالات نیوتنی داریم:

\sigma_{xx}=2\mu \frac{\partial u}{\partial x}-\frac{2}{3}\mu (\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y})


\sigma_{yy}=2\mu \frac{\partial v}{\partial y}-\frac{2}{3}\mu (\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y})


\tau_{yx}=\tau_{xy}=\mu(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x})


پس از جایگذاری داریم (برای جریان {s-s} \, ، تراکم ناپذیر)

\rho u\frac{\partial u}{\partial x}+\rho v \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial P}{\partial x}+\mu (\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2})+X


\rho u\frac{\partial v}{\partial x}+\rho v \frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{\partial P}{\partial y}+\mu (\frac{\partial ^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2 v}{\partial y^2})+Y

لایهٔ مرزی حرارتی:

معادلهٔ انرژی: معادله ای اسکالر بوده و لذا یک مؤلفه بیشتر ندارد. تصویر:F6-2.jpg

مقدار انرژی که با جریان وارد یا خارج می شود (در جهت x \,)

\dot E_{adv,x}-\dot E_{adv,x+dx}=-\frac{\partial}{\partial x}[\rho u(e+\frac{v^2}{2})]dxdy

(e+\frac{v^2}{2}) : انرژی کل بدون انرژی پتانسیل

مقدار انرژی که بصورت انتقال حرارت هدایتی در جهت x \, منتقل می شود.

\dot E_{cond,x}-\dot E_{cond,x+dx}=\frac{\partial}{\partial x}(k\frac{\partial T}{\partial x})dxdy

مقدار کار انجام شده توسط نیروهای مختلف در جهت x \, :

\dot W_{net,x}=(Xu)dxdy+\frac{\partial}{\partial x}[(\sigma_{xx}-P)u]dxdy+\frac{\partial}{\partial y}(\tau_{yx}u)dxdy


به همین ترتیب تأثیر ترمهای مشابه در جهت y را نیز بدست آورده و پس از جمع بندی آنها معادلهٔ انرژی بشکل زیر در می آید.


-\frac{\partial}{\partial x}[\rho u(e+\frac{v^2}{2})]-\frac{\partial}{\partial y}[\rho v(e+\frac{v^2}{2})]+\frac{\partial}{\partial x}(k\frac{\partial T}{\partial x})+\frac{\partial}{\partial y}(k\frac{\partial T}{\partial y})


+(Xu+Yv)-\frac{\partial}{\partial x}(P u)-\frac{\partial}{\partial y}(P v)+\frac{\partial}{\partial x}(\sigma_{xx}u+\tau_{xy}v)+


\frac{\partial}{\partial y}(\tau_{yx}u+\sigma_{yy}v)+\dot q'''=0


\dot q''' \, : تولید انرژی بر واحد حجم


این معادله هر دو انرژی داخلی و مکانیکی ذرات سیال را در بر دارد. در بسیاری از موارد مخصوصاً در تحلیل های حرارتی معادله ای برای انتقال انرژی حرارتی مطلوبست. با ضرب معادلات مومنتوم در u و v و جمع آنها معادله ای برای انتقال انرژی مکانیکی بدست می آید. از تفریق معادلهٔ انرژی مکانیکی از معادلهٔ انرژی معادلهٔ انتقال انرژی حرارتی بدست می آید.


\rho u\frac{\partial e}{\partial x}+\rho v\frac{\partial e}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial x}(k\frac{\partial T}{\partial x})+\frac{\partial}{\partial y}(k\frac{\partial T}{\partial y})-P(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y})+\mu \Phi + \dot q'''


که \Phi \, به ترم viscous dissipation شناخته می شود و برابر است با:

\mu \Phi=\mu [{(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x})}^2+2[{(\frac{\partial u}{\partial x})}^2+{(\frac{\partial v}{\partial y})}^2]-\frac{2}{3}{(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y})}^2 ]


  • توجه به علامت \Phi \, و نقش آن در معادلات انرژی مکانیکی و انرژی حرارتی

در برخی شرایط آسانتر می باشد که معادلهٔ انرژی حرارتی بر حسب انتالپی

i=e+\frac{P}{\rho}


نوشته شود. در این حالت با جابجائی ترمهای معالات قبل خواهیم داشت:


\rho u \frac{\partial i}{\partial x}+\rho v\frac{\partial i}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial x}(k\frac{\partial T}{\partial x})+\frac{\partial}{\partial y}(k\frac{\partial T}{\partial y})+(u\frac{\partial P}{\partial x}+v\frac{\partial P}{\partial y})+\mu \Phi +\dot q


در شرایط خاصی می توان معادله انرژی حرارتی را برحسب دما نوشت.

گاز کامل:

{di=c_{\rho} dT} \,


\rightarrow \rho c_{\rho}(u\frac{\partial T}{\partial x}+v\frac{\partial T}{\partial y})=\frac{\partial}{\partial x}(k\frac{\partial T}{\partial x})+\frac{\partial}{\partial y}(k\frac{\partial T}{\partial y})


+(u\frac{\partial P}{\partial x}+v\frac{\partial P}{\partial y})+\mu \Phi+\dot q


داده تراکم ناپذیر: {c_v=c_{\rho}} \, و {de=c_vdT=c_{\rho}dT} \,

\rightarrow \rho c_{\rho}(u\frac{\partial T}{\partial x}+v\frac{\partial T}{\partial y})=\frac{\partial}{\partial x}(k\frac{\partial T}{\partial x})+\frac{\partial}{\partial y}(k\frac{\partial T}{\partial y})+\mu \Phi+\dot q

مثال:

حل جریان و دما بین دو صفحه موازی


جریان آرام و مغشوش** **ساده سازی معادلات

Views
Personal tools